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勾股数猜想可以干什么?  

2009-07-20 07:20:38|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 附件:关于xn + yn = zn方程n取值的质疑

   http:// http://bbs.mathchina.com/usr1PvjRWKew/12/35/B7D1C2EDB7BDB3CC_1247919005.doc               
王    德    忱
 
费马猜想xn + yn = zn方程n是大于2 的正整数。为了简化,300多年来数学家们给出了一个定论:如果xn + yn = zn没有正整数解,则xkn + ykn = zkn也没有正整数解,所以只要证明当n为偶数4和n为奇质数p时这两种情形就可以了。这个“数学家定论”在经典著作及网上不少文稿中都有阐述,然而却无处查到相关证明的任何资料。所以,要弄清xn + yn = zn这方面的一些重要关系,还必须对n的取值作一番认真探讨。
即定p = 1,2,3,5,…,为质数;k>1为正整数。
问题①:如果xp + yp = zp有正整数解,则xkp + ykp = zkp一定没有正整数解。
证明:如果xp + yp = zp正整数等式成立,两边k次乘方得:
(xp + yp)k =(zp)k
xkp + ykp + C1kxp(k-1)yp +…+ Ck-1kxpyp(k-1)= zkp
若其中xkp + ykp = zkp成立,那么必有:
C1kxp(k-1)yp +…+ Ck-1kxpyp(k-1)= 0
但是C1kxp(k-1)yp +…+ Ck-1kxpyp(k-1)>0,则xkp + ykp = zkp不能成立。所以,如果xp + yp = zp有正整数解,则xkp + ykp = zkp一定没有正整数解。
问题②:如果xp + yp = zp没有正整数解,则xkp + ykp = zkp可能有正整数解。
证明:如果xp + yp ≠ zp正整数不等式成立,两边k次乘方得:
(xp + yp)k ≠(zp)k
xkp + ykp + C1kxp(k-1)yp +…+ Ck-1kxpyp(k-1)≠ zkp
若其中xkp + ykp = zkp可能成立,那么必有:
C1kxp(k-1)yp +…+ Ck-1kxpyp(k-1)≠ 0
因为C1kxp(k-1)yp +…+ Ck-1kxpyp(k-1)>0,则xkp + ykp = zkp等式存在可能成立的条件。所以,如果xp + yp = zp没有正整数解,则xkp + ykp = zkp可能有正整数解。
问题③:如果xp + yp = zp没有正整数解,则xkp + ykp = zkp也没有正整数解。
证明:(“数学家定论”,此证明是一些网友回帖资料的综合)
假设xp + yp = zp没有正整数解,如果akp + bkp = ckp有正整数解,即存在
x = ak,y = bk, z = ck
使得
xp + yp = zp
有正整数解成立,这与假设xp+ yp = zp没有正整数解矛盾,所以akp + bkp = ckp没有正整数解。即推出如果xp + yp = zp没有正整数解,则xkp + ykp = zkp也没有正整数解。
问题综述:
虽然费马猜想是n >2;但是,作为一般规律性证明n取值必须包含所有应满足条件的数,结论也就必须符合这些数条件的共同规律。所以,使n = 1,2,3,4,…,为自然数,对问题①、②、③证明进行分析。
如果xn + yn = zn有正整数解,只能是正整数集的部分数组使原方程等式成立,设为:
An + Bn = Cn
除此,还有所余更多的任意正整数组使原方程等式不成立,或者正整数集的全部任意数组使原方程等式不成立(即An + Bn = Cn不成立时),设为:
        an + bn ≠ cn
①的证明说明An + Bn = Cn正整数等式成立,则Akn + Bkn = Ckn正整数等式不成立;实例确有A2 + B2 = C2是正整数解,则A2k + B2k = C2k正整数等式不成立。
②的证明说明存在正整数an + bn ≠ cn为不等式,则可能有akn + bkn = ckn等式成立;实例也确有a + b ≠ c则存在a2 + b2 = c2等式成立,如:由3 + 4 ≠ 5 却有32 + 42 = 52。
③的证明分别与①的前提、②的结论恰为相反。①的证明肯定是正确的,②与③的证明必有一个是错误的。
如果③的证明“数学家定论”是正确的,那么如何解释a + b ≠ c(p = 1没有正整数解)则存在a2 + b2 = c2(k = 2有正整数解)的问题。如果②的证明是正确的,a4 + b4 ≠ c4则a4k + b4k = c4k可能有正整数解,ap + bp ≠ cp则akp + bkp = ckp可能有正整数解,这样只证明x4 + y4 = z4 和xp + yp = zp没有正整数解则不能完全证明xn + yn = zn没有正整数解。

敬请各位网友指教,欢迎参与讨论!
谢谢!

                     

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