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日志

 
 

奇数—因子定理  

2009-11-11 14:26:59|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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出处: http://www.hudong.com/wiki/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E6%95%B0%E5%AD%A6

定理1 任意一个≥3的奇数a,至少可以组成一组两整数的平方差。分解这个奇数a的因子,若a能分解成m组互不相等的两整数之积,则这个奇数a就一定且至多能组成m组两整数的平方差。

     a^(2k+1)=a^(2k+1-j)×a^j。  注:j=0,1,2,…k。 m=k+1,a≥3,且为素数。

     a^(2k+1)={[a^(2k+1-j)+a^j]/2}^2-{[a^(2k+1-j)-a^j]/2}^2。

    定理2 一个≥3的奇乘方数a^n(n≥2),若将a^n分解为两整数的齐次方差,至多可以分解为一组或多组存在的不同形式,且与a^n等值的两整数平方差。

      1、a^(2k+1)≡a^2k[(a+1)/2]^2-a^2k[(a-1)/2]^2;    

      2、a^2k≡a^2(k-1)[(a2+1)/2]^2-a^2(k-1)[(a2-1)/2]^2。

             注:式中k=0,1,2,3,…。(这是最常见的一种基本形式)

    一、一般奇数的证明:

    证明一 当a为素数,a只能分解成a=a×1;a≥3。

    ∵ x+y=z  ∴ x=[z^(1/2)-y^(1/2)][z^(1/2)+y^(1/2)]

    令:a=x;则a≡[z^(1/2)-y^(1/2)][z^(1/2)+y^(1/2)]。

    恒等代换:z^(1/2)-y^(1/2)≡1;z^(1/2)+y^(1/2)≡a。

    ∴  y=[(a-1)/2]^2;z=[(a+1)/2]^2。

    证明二 a=a1a2;(a1>a2)分解:⑴a=a1a2×1;⑵a=a1×a2。

    ⑴ 恒等代换:z11/2-y11/2≡1;z11/2+y11/2≡a1a2。

    ∴  y1=[(a1a2-1)/2]2;z1=[(a1a2+1)/2]2。

    ⑵ 恒等代换:z21/2-y21/2≡a2;z21/2+y21/2≡a1。

    ∴  y2=[(a1-a2)/2]2;z2=[(a1+a2)/2]2。

    证明三 a=a1a2a3;(a1≠a2≠a3;a1a2>a3;a1a3>a2;a2a3>a1)

   分解:a=a1a2a3×1;a=a1a2×a3;a=a1a3×a2;a=a2a3×a1。

    ⑴ 恒等代换:z11/2-y11/2≡1;z11/2+y11/2≡a1a2a3。

    ∴  y1=[(a1a2a3-1)/2]2;z1=[(a1a2a3+1)/2]2。

    ⑵ 恒等代换:z21/2-y21/2≡a3;z21/2+y21/2≡a1a2。

    ∴  y2=[(a1a2-a3)/2]2;z2=[(a1a2+a3)/2]2。

    ⑶恒等代换:z31/2-y31/2≡a2;z31/2+y31/2≡a1a3。

    ∴  y3=[(a1a3-a2)/2]2;z3=[(a1a3+a2)/2]2。

    ⑷恒等代换:z41/2-y41/2≡a1;z41/2+y41/2≡a1a2。

    ∴  y4=[(a2a3-a1)/2]2;z4=[(a2a3+a1)/2]2。

    推论 以上三组简单的证明足以表明定理1存在。当奇数a为4个或4个以上因子的合数时,无论因子是否相等,用同样的方法先分解a,只要a能分解成m组互不相等的两整数之积,就一定有m组整数的平方差存在。需指出的是,有条件的情况下,应比较分解后同组两整数之大小,无条件时也无重大影响,只是取y的平方根时须注意。

二、对奇数的任意乘方予以证明。略

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