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日志

 
 

数学的美  

2008-01-17 12:47:24|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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      庞卡莱(J.H.poincom,1854-1912)说过:“感觉数学美,感觉数与形调和,感觉几何优雅……这是所有真正数学家都知道的真正美感。”然而现代信息化的社会中,人素质的高低可以说是由数学素质的高低决定的;一个国家的是否兴旺发达,数学也是重要的标志之一,近30年来获诺贝尔经济学奖的专家的工作,绝大部分是因为他们在数学方面的重要成就而获奖。运用的广泛性对数学大众化提出必然的要求。可高度形式化、逻辑化、抽象化的数学材料,总给人单调乏味、莫测高深的感觉。由此可见,对数学美的研究,不仅仅是数学家的事,能够体验数学美感的也不仅仅是数学家。本文想就数学美的本质、形式和美育等方面谈一些观点、心得,供同行商榷。
一、数学美的本质
      马克思“劳动创造了美”的观点明确提出了美源于实践。数学美是客观世界中固有规律的反映,是现实世界中数量关系和空间形式的程序性、统一性、规律性的呈现。原来以过程、动态形式存在的自然美,通过人类的生产实践就抽象成为结果、静态的数学理性美、冷峻美。可见数学美是对数学必然的认识和对世界的改造,数学美是数学创造的自由形式。任何一个数学公式、定理、结构、体系等,在本质上都具有真理性,都是人对自然规律的认识,这就呈现了自由。而同时,必然的认识成果作为指导实践的工具使人能动地进行创造活动,使人从数学的必然王国到达数学的自由王国,从而再次获得自由。可见,任何一次数学发明发现、任何一次数学学习实践,都可以使人在实践中获得自由形式,这就是数学本质所在。
二、数学美的形式
      人们在对客观事物观念的认识过程中所具有的美感及在科学认识中具有审美价值的超感性对象称为科学美。数学美显然是一种科学美,它失去了美感的“具象性”,是一种抽象美,是超感觉的理性美、冷峻美。数学创造往往表现出简单性、对称性、统一性、谐调性、奇异性,因而,统一、协调、对称、简洁、奇异及应用是呈现数学美的主要形式。
      【统一美】统一美是指呈现于基础上的统一、结构上的统一、方法上的统一。数量关系与空间形式是多种多样的,因而反映在数学科学上就是各种不同的数学门类。每门数学都有自己的概念、符号、命题体系,概念、命题和方法相互交叉形成十分庞杂的数学体系,但它们却有共同的基础--集合论。数学中的一个集合的元素间的关系通常是用运算或变换联系着,这样集合就形成了结构。比如,整数及其元素通过加法构成整数群,形成整数群结构;其元素通过乘法又形成整数环结构。不同的代数有不同运算群结构,1935年布尔巴基学派提出用数学结构统一数学的观点,他们将数学结构分为三类:代数结构、序结构和拓朴结构。数学的统一美,给人以理性的超感觉的整体美、稳定美、秩序美……使人自然而然形成审美趣味、审美理想,激发人们去进行数学审美创造。
      【谐调、对称美】谐调、对称美本意是指部分与部分之间、整体与部分之间、整体与整体之间可以引起直观快感的比例关系。当一个整体的几个部分或几个整体在构成上的比例为1时,即为对称,它是谐调美的特例,给人以平衡感,从而作为审美对象给人以对称的感觉。几何的轴对称、中心对称、位似变换、相似变换,代数中的矩阵、二次型,空间中的向量及其运算等等无不体现了对称美。圆是毕达哥拉斯学派最推崇的最美的图形,从各个方面看都是对称的,让人感到十分舒适,具有完美的对称性,其内涵的意蕴更加动人心扉:她是太阳、是清晨的露珠、是爱人的眼睛……难怪有的学者称之为“宇宙间第一等好诗”。纯数学与实际应用之间,通过应用数学构成关系,呈现一种谐调美。同构同态映射构建、RMI模型构建等呈现一种谐调美,最突出的例子是黄金分割、等边三角形、圆椎曲线等。
      【简洁美】事物的简洁性给人以简捷、明快、准确精炼的美感。数学的简洁美首先表现在语言的简洁性上,特别是符号语言。数学中各种各样的符号--逻辑的、集合的、代数的、几何的、函数的、拓朴的、分析的……无一不是简洁、准确地表述了数学概念,呈现出数学的简洁美。例如,欧氏几何仅使用了几个公理就构建出如此伟岸的体系;算术公理系统只用了三个基本概念便刻画了整个算术系统结构。我们很容易体会到:一个定理(或习题)证明(或解法)的改进(简化),将认为是做了一件漂亮的工作,即它是美的。简洁是数学的生命,是数学呈现美的一种主要形式。
      【奇异美】数学中的奇异性常常是打破已有的数学统一性而出现的一种认识上的飞跃,这种新的认识又意味着在更高层次上的统一与和谐。古希腊时期,正方形边长与对角线的不可公度性发现是何等奇异,它直接导致了毕达哥拉斯学派“万物皆数”大厦的倾覆,引起了人们对无理数的研究和公理几何学的诞生。
      而“伽利略悖论”的离奇出现,激励了康托尔毕生研究超无穷集合并建立了超穷数理论。希尔伯特曾称赞康托尔的超穷数理论是“数学思想最惊人的产物,在纯理性范畴中人类活动最美的表现之一”。而神奇的“罗素悖论”所掀起的第三次数学危机,至今仍让人们如痴如醉地探求!数学的奇异性在数学各个层面、各个角度都有体现;同样也体现在自然界、社会、经济等领域中。阿基米德依力矩原理居然“称出”球的体积公式;中国的七巧板可奇妙地拼出千变万化的图案;“海岸线问题”、“科和雪花”、“孟格尔海绵”、“塞尔斯基片”反映一个共同的问题:在有限空间中有无穷长的线!这种奇妙结果出现,导致人们对混沌无序的认识上突破,出现了年轻的几何学--微分形几何学,许多好莱坞大片的宏大壮丽的场面就是其直接应用的结果。而单、双叶曲面居然可由一簇直线构成,这简直是上帝的手笔!数学奇妙,奇妙得让人叫绝!
      【应用美】数学发展总是为了解决实际问题的,数学应用美实际上是数学奇异美的一种。数学运用枚不胜举,没有数学就没有科学的进步、没有社会的发展。数学在物理、化学、医学、地理学、天文学、生物学、工程学等学科领域中都起着举足轻重的作用。在物理学发展史上,一般困难在于数学方法的不足。牛顿为了解决物理问题而创立了微积分。而相对论的困难在于物理思想,欧氏几何被爱因期坦引入而创立了狭义相对论;高斯-黎曼几何、张量分析被爱因斯坦离奇导入从而创立了广义相对论。奇就奇在这些数学工具竟解决了物理思想问题。拉登变换公式在CT理论中神奇应用,引发了20世纪的医学革命!另外诸如圆锥曲线在天体中的运用,拓朴学在经济中的运用,运筹学在工程学中的应用等等无不充满神奇、充满魅力!数学统一、谐调、对称、奇异及应用美,说明了数学在客体中存在数学美的基础,经主体审美创造活动过程呈现出来,极大地激励着人类征服、改造自然。然而,对数学美的判断不仅要着眼于数学对象本身的品性,还要考虑到主体的思想文化修养、美感品性及审美能力,因为数学美毕竟是理性美、科学美。
三、数学的美育
      美育即是审美教育,数学的美育是把数学作为审美对象,通过数学教学形成美感,经过审美体验形成审美意识、审美理想、审美意志,从而自觉地进行相应的审美活动。数学美育主要反映在数学教学中,数学教学过程是数学美因呈现过程和数学审美创造过程。而学生不是数学家,很难体会数学这种理性美,因此教师在讲授数学知识时要善于表现数学美,尽可能展现最好又是感性展现数学美的各种形式,将数学美与学生已经具有的美感进行类比,从而让学生形成美感。教师只有充分显示出数学美才能启迪学生将数学作为审美对象;才能将数学技能技巧作为审美价值表现;才能提高学生的数学能力。教师除了要善于呈现数学美之外,还要把教学这种活动作为科学活动的同时作为审美对象,这就是数学的教学美。通过教师带有审美价值的技能技巧;通过教师审美创造活动,使学生获得知识形成能力的同时得到美的享受。因而教学也是艺术。对于教学的艺术美,我认为有如下几种实现方式:
1.模仿方式
      古希腊对艺术的主要做法就是模仿,而数学教学艺术中模仿无疑很重要。绘声绘色模仿给人以直观、给人以轻松,这不仅仅是对形象思维占主导的学生实用,对抽象、辨证思维占主导的学生照样有较强的实用性,特别是模仿第一发现者的思辨过程,会激发学生的学习兴趣。
2.移情方式
      移情即是感情移入,把自己“感”到审美对象中去。移情的关健在于教师能运用恰当方式与学生既定的美感进行类比。“直线给人刚毅”、“曲线使人温柔”、“圆让人完满”、“极限让生命永恒”……数学符号是音符,数学语言是旋律。流畅的证明是欢快的小溪,解难之后是“山到绝顶我为峰”的伟岸!一名优秀的教师无疑是移情手法大师。
3.现实主义方式与批判现实主义方式
      数学学习毕竟是对“真”的追求,在教学中直观现实地呈现细节、环境、过程等本来就是数学教学的基本要求。但现实主义方式不是呆板枯燥呈现,也有其高超的艺术手法,是在呈现一幅幅淡雅的山水画--“一去二三里/烟村四五家/楼台六七座/八九十枝花”。而数学学习同时要有批判精神,不能人云亦云,总要问一问为什么。为什么要这样下定义?为什么要这样表达?为什么要如此证明?批判的过程往往会揭示出概念的必要性和合理性,从另一个侧面再现数学美,“横看成岭侧成峰”,往往使学生把握了数学知识的形成过程,提高自身的数学能力,“只缘身在此山中”。数学是一门同人民大众贴得很近的学科,它所讨论的宇宙,远比现实的所谓宇宙宏伟雄大;数学是一座远远地超越了我们想象的华丽宫殿,站在这个无比庄严、宏伟的宇宙中的数学家们以崇敬赞叹的目光远眺着它的壮观、美妙。那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人,是被爱因斯坦称的“有宇宙宗教性的人”。数学既有丰富深刻的思想内涵,又有和谐、简洁、奇异的美的形式和包容宇宙万物的气势--这是诗的意境、音乐的韵律、绘画雕刻凝固的永恒!这是所有不同艺术共同归宿。数学符号、公式、法则、定理都给人极大享受的数学诗、数学画、数学音乐……它以简洁、和谐形式反映了宇宙中的深邃美,造成了庄严、永恒的意境,给人留下无边无垠的遐想……这是一种崇高的思辨美。数学符号、命题及体系只不过是其载体,体验不仅要靠感官而且要靠心智把现实主义与批判现实主义有机地统一起来,并且借助于自由形式表现出来。
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